Płaszczyzna

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Skocz do: nawigacji, szukaj

Ten artykuł dotyczy pojęcia z dziedziny geometrii. Zobacz też: miejscowości o nazwie Płaszczyzna.

Dwie przecinające się płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej.

Intuicja płaszczyzny wpajana jest człowiekowi kultury zachodniej od dziecka poprzez obrazowanie płaszczyzny jako karty papieru, powierzchni stołu, czy płaskiego pola rozciągających się "w nieskończoność".

W wielu innych geometriach, na przykład geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Spis treści

1 Własności
- 1.1 Płaszczyzna euklidesowa
2 Opis w przestrzeni R³
3 Zobacz też

[edytuj] Własności

Podstawowe własności płaszczyzn opisują aksjomaty geometrii absolutnej, inne są twierdzeniami, czyli wnioskami z aksjomatów. Uwaga: niektóre z podanych własności zachodzą wyłącznie w przestrzeni trójwymiarowej.

przez trzy niewspółliniowe punkty przestrzeni (tzn. nie leżące na jednej prostej) przechodzi tylko jedna płaszczyzna
- przez daną prostą i punkt nie leżący na niej przechodzi tylko jedna płaszczyzna
- przez dwie proste przecinające się w jednym punkcie przechodzi tylko jedna płaszczyzna
prosta przechodząca przez dwa różne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie
jeśli dwie płaszczyzny mają jeden punkt wspólny, to mają również drugi punkt wspólny
płaszczyzna jest zbiorem punktów przestrzeni jednakowo oddalonych od dwu ustalonych punktów
każdy punkt płaszczyzny należy do nieskończenie wielu prostych
każda płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwa obszary, których częścią wspólną jest ta właśnie płaszczyzna;
Obszary te nazywamy półprzestrzeniami – płaszczyzna jest brzegiem każdego z tych obszarów.
każda prosta zawarta w płaszczyźnie dzieli ją na dwie części;
Części te nazywane półpłaszczyznami. Dana prosta jest brzegiem każdej z dwu półpłaszczyzn.
prosta w przestrzeni może:
- nie mieć punktów wspólnych z daną płaszczyzną – nazywamy ją wtedy równoległą do płaszczyzny
- mieć jeden punkt wspólny
- być zawarta w tej płaszczyźnie

[edytuj] Płaszczyzna euklidesowa

Jeżeli do listy wyżej wymienionych własności dodamy następujący aksjomat (tzw. V pewnik lub XI aksjomat Euklidesa):

przez dowolny punkt płaszczyzny, nie należący do danej prostej leżącej na tej płaszczyźnie, można poprowadzić tylko jedną prostą do niej równoległą,

to otrzymamy pojęcie płaszczyzny euklidesowej. Z tym właśnie pojęciem zaznajamiamy się w szkole.

[edytuj] Opis w przestrzeni R³

R³ jest modelem dla geometrii euklidesowej i poniższy opis dotyczy oczywiście płaszczyzny euklidesowej.

[edytuj] Równanie ogólne

W przestrzeni euklidesowej R³ płaszczyzna jest zbiorem punktów, których współrzędne spełniają w danym kartezjańskim układzie współrzędnych równanie:

Ax + By + Cz + D = 0,

przy czym liczby A, B, C nie mogą być jednocześnie równe zeru.

Jest to tak zwane równanie ogólne płaszczyzny. Wektor [A, B, C] jest wektorem normalnym prostopadłym do tej płaszczyzny.

[edytuj] Równanie normalne

Równanie normalne płaszczyzny, to równanie postaci:

αx + βy + γz + δ = 0.

Liczby α, β, γ interpretujemy jako cosinusy kierunkowe prostej prostopadłej do płaszczyzny. Spełniają one równość:

α² + β² + γ² = 1.

Przejście z postaci ogólnej do normalnej dają wzory:

α = A/N, β = B/N, γ = C/N, δ = D/N,

w których współczynnik normalizujący N odpowiada normie (długości) wektora [A, B, C]:

$N=\sqrt{A^2+B^2+C^2}.$

[edytuj] Równanie odcinkowe

Do opisu płaszczyzny można też użyć równania odcinkowego:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$

Ma ono tę zaletę, że od razu daje punkty przecięcia płaszczyzny z osiami współrzędnych układu: są to punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).

Ma również istotną wadę: nie daje się w ten sposób przedstawić żadnej płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych (wówczas wszystkie mianowniki musiałyby być równe zeru, $a = b = c = 0$ ) ani też żadnej płaszczyzny równoległej do którejkolwiek osi (wówczas odpowiedniemu współczynnikowi lub parze współczynników należałoby przypisać wartość nieskończoną, $\infty$ ).

Przejście z postaci ogólnej lub normalnej do odcinkowej dają wzory:

a = - D / A = - δ / α

b = - D / B = - δ / β

c = - D / C = - δ / γ

[edytuj] Płaszczyzna przechodząca przez trzy punkty

Ponieważ istnieje tylko jedna płaszczyzna w $\mathbb R^3$ przechodząca przez trzy niewspółliniowe punkty, dlatego można jednoznacznie wyznaczyć tą płaszczyznę, czyli jeżeli płaszczyzna przechodzi przez trzy punkty: $\bold p_1 = (x_1,y_1,z_1)$ , $\bold p_2 = (x_2,y_2,z_2)$ i $\bold p_3 = (x_3,y_3,z_3)$ jest określona następującym równaniem:

$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\ x - x_3 & y - y_3 & z - z_3 \end{vmatrix} = 0.$

lub:

$\begin{vmatrix} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$

[edytuj] Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu P o współrzędnych (x_P, y_P, z_P) od płaszczyzny m zadanej równaniem ogólnym Ax + By + Cz + D = 0 lub normalnym αx + βy + γz + δ = 0 przedstawia wzór:

$d(P, m)=\frac{|Ax_P+By_P+Cz_P+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = |\alpha x_P + \beta y_P+\gamma z_P+\delta|$

[edytuj] Zobacz też

abc ferie sylwester Powiat Gryfino Og�oszenia polish webmasters tablice pami�tkowe